Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisin liittomatriisi eli adjungoitu matriisi (engl. adjugate of a matrix [ 1] matriisi , joka muodostetaan korvaamalla alkuperäisen matriisin alkiot niiden alideterminanteilla , vaihtamalla niistä joka toinen vastaluvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi .[ 2]
Liittomatriisista käytetään myös nimitystä adjungoitu matriisi [ 2] engl. Adjoint of a matrix [ 1] konjugaattista transpoosia .
Matriisin A liittomatriisi on sen kofaktorimatriisin C transpoosi :
a
d
j
(
A
)
=
C
T
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}}
Yksityiskohtaisemmin: olkoon R kommutatiivinen rengas ja A n ×n -matriisi, jonka alkiot kuuluvat R :ään.
Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [aij ] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti , joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista A poistetaan i :s rivi ja j :s sarake. Matrisiissa A olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestysnumeroiden summa on pariton, korvataan vastaluvuillaan . Täten saadaan alkuperäisen matriisin A kofaktorimatriisi. A :n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktorimatriisin transpoosi, ja sille käytetään merkintää adj(A).[ 2]
Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin A ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi , jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alkuperäisen matriisin determinantin arvo det(A ). Kun liittomatriisin adj(A ) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alkuperäisen matriisin A käänteismatriisi .[ 2]
2 × 2 -matriisin
A
=
(
a
b
c
d
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}}
liittomatriisi on
adj
(
A
)
=
(
d
−
b
−
c
a
)
{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}}
Voidaan helposti todeta, että det(adj(A )) = det(A ) ja adj(adj(A )) = A .
Käsitellään
3
×
3
{\displaystyle 3\times 3}
A
=
(
a
11
a
12
a
13
a
21
a
22
a
23
a
31
a
32
a
33
)
=
(
1
2
3
4
5
6
7
8
9
)
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}}
Muodostetaan ensin alideterminantit:
|
A
11
|
=
|
a
22
a
23
a
32
a
33
|
{\displaystyle \left|A_{11}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|}
|
A
12
|
=
|
a
21
a
23
a
31
a
33
|
{\displaystyle \left|A_{12}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|}
|
A
13
|
=
|
a
21
a
22
a
31
a
32
|
{\displaystyle \left|A_{13}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|}
|
A
21
|
=
|
a
12
a
13
a
32
a
33
|
{\displaystyle \left|A_{21}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|}
|
A
22
|
=
|
a
11
a
13
a
31
a
33
|
{\displaystyle \left|A_{22}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|}
|
A
23
|
=
|
a
11
a
12
a
31
a
32
|
{\displaystyle \left|A_{23}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|}
|
A
31
|
=
|
a
12
a
13
a
22
a
23
|
{\displaystyle \left|A_{31}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|}
|
A
32
|
=
|
a
11
a
13
a
21
a
23
|
{\displaystyle \left|A_{32}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|}
|
A
33
|
=
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
{\displaystyle \left|A_{33}\right|=\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|}
C
=
(
+
|
a
22
a
23
a
32
a
33
|
−
|
a
21
a
23
a
31
a
33
|
+
|
a
21
a
22
a
31
a
32
|
−
|
a
12
a
13
a
32
a
33
|
+
|
a
11
a
13
a
31
a
33
|
−
|
a
11
a
12
a
31
a
32
|
+
|
a
12
a
13
a
22
a
23
|
−
|
a
11
a
13
a
21
a
23
|
+
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
)
=
(
+
|
5
6
8
9
|
−
|
4
6
7
9
|
+
|
4
5
7
8
|
−
|
2
3
8
9
|
+
|
1
3
7
9
|
−
|
1
2
7
8
|
+
|
2
3
5
6
|
−
|
1
3
4
6
|
+
|
1
2
4
5
|
)
{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}}
Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin A liittomatriisiksi:
adj
(
A
)
=
(
+
|
a
22
a
23
a
32
a
33
|
−
|
a
12
a
13
a
32
a
33
|
+
|
a
12
a
13
a
22
a
23
|
−
|
a
21
a
23
a
31
a
33
|
+
|
a
11
a
13
a
31
a
33
|
−
|
a
11
a
13
a
21
a
23
|
+
|
a
21
a
22
a
31
a
32
|
−
|
a
11
a
12
a
31
a
32
|
+
|
a
11
a
12
a
21
a
22
|
)
=
(
+
|
5
6
8
9
|
−
|
2
3
8
9
|
+
|
2
3
5
6
|
−
|
4
6
7
9
|
+
|
1
3
7
9
|
−
|
1
3
4
6
|
+
|
4
5
7
8
|
−
|
1
2
7
8
|
+
|
1
2
4
5
|
)
{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a_{22}&a_{23}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{32}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{12}&a_{13}\\a_{22}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{23}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{31}&a_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{13}\\a_{21}&a_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a_{21}&a_{22}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{31}&a_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}}
missä
|
a
i
m
a
i
n
a
j
m
a
j
n
|
=
det
(
a
i
m
a
i
n
a
j
m
a
j
n
)
{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a_{im}&a_{in}\\\,\,a_{jm}&a_{jn}\end{matrix}}\right)}
Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti:
|
a
b
c
d
|
=
a
d
−
b
c
{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|=ad-bc}
Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet:
a
d
j
(
I
)
=
I
,
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} ,}
a
d
j
(
A
B
)
=
a
d
j
(
B
)
a
d
j
(
A
)
,
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} ),}
a
d
j
(
c
A
)
=
c
n
−
1
a
d
j
(
A
)
{\displaystyle \mathrm {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )}
kaikille n ×n -matriiseille A ja B . Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(B )adj(A ) =
det(B )B -1 det(A )A -1 = det(AB )(AB )-1 .
Korvaamalla toisella rivillä B matriisilla A m - 1 ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville m :
a
d
j
(
A
m
)
=
a
d
j
(
A
)
m
.
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{m})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{m}.}
Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi:
a
d
j
(
A
T
)
=
a
d
j
(
A
)
T
.
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}.}
Lisäksi,
det
(
a
d
j
(
A
)
)
=
det
(
A
)
n
−
1
,
{\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1},}
a
d
j
(
a
d
j
(
A
)
)
=
det
(
A
)
n
−
2
A
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} }
ja jos det(A ) = 1, on det(adj(A )) = det(A ) ja adj(adj(A )) = A .
Laplacen kaavasta n ×n -matriisin A determinantille seuraa:
A
a
d
j
(
A
)
=
a
d
j
(
A
)
A
=
det
(
A
)
I
n
(
∗
)
{\displaystyle \mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} _{n}\qquad (*)}
missä
I
n
{\displaystyle \mathbf {I} _{n}}
n ×n -yksikkömatriisi .
Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan R matriisi on kääntyvä , jos ja vain jos determinantilla det(A ) on käänteisalkio renkaassa R . Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali - tai kompleksilukuja , neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla.
Sillä jos A on kääntyvä matriisi , on
1
=
det
(
I
n
)
=
det
(
A
A
−
1
)
=
det
(
A
)
det
(
A
−
1
)
,
{\displaystyle 1=\det(\mathbf {I} _{n})=\det(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {A} ^{-1}),}
ja yllä oleva yhtälö (*) osoittaa, että
A
−
1
=
det
(
A
)
−
1
a
d
j
(
A
)
.
{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} ).}
Jos p (t ) = det(A − t I ) on A :n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi
q (t ) = (p (0) − p (t ))/t , saadaan:
a
d
j
(
A
)
=
q
(
A
)
=
−
(
p
1
I
+
p
2
A
+
p
3
A
2
+
⋯
+
p
n
A
n
−
1
)
,
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=q(\mathbf {A} )=-(p_{1}\mathbf {I} +p_{2}\mathbf {A} +p_{3}\mathbf {A} ^{2}+\cdots +p_{n}\mathbf {A} ^{n-1}),}
missä luvut
p
j
{\displaystyle p_{j}}
p (t ):n kertoimet,
p
(
t
)
=
p
0
+
p
1
t
+
p
2
t
2
+
⋯
+
p
n
t
n
.
{\displaystyle p(t)=p_{0}+p_{1}t+p_{2}t^{2}+\cdots +p_{n}t^{n}.}
Liittomatriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle :
d
d
α
det
(
A
)
=
tr
(
adj
(
A
)
d
A
d
α
)
.
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}\det(A)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A){\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} \alpha }}\right).}
Käännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli:
en:Adjugate matrix Gilbert Strang: ”Section 4.4: Applications of determinants”, Linear Algebra and its Applications , s. 231–232. 3. painos. Harcourt Brace Jovanovich, 1988. ISBN 0-15-551005-3
↑ a b Daniel N. Lapedes: Dictionary of Physics and Mathematics , s. 18–19. McGraw & Hill, 1980. ISBN 0-07-045480-9 ↑ a b c d Esko Valtanen: ”Matriisilaskenta”, Matematiikan ja fysiikan käsikirja , s. 124–125. Jyväskylä: Genesis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9867-28-8
