준마팅게일

확률론에서 준마팅게일(準martingale, 영어: semimartingale)은 국소 마팅게일과 유계 변동 확률 과정의 합이다. 준마팅게일 조건은 이토 적분이 잘 정의될 필요 충분 조건이다.

정의

실수 값의 준마팅게일

다음이 주어졌다고 하자.

• 여과 확률 공간 $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in [0,\infty ]}$

그렇다면, $(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in [0,\infty )}$ 위의 마팅게일의 개념을 정의할 수 있다. 이는 순응 확률 과정의 일종이다.

$(\Omega ,{\mathcal {F}}_{t},\Pr )_{t\in [0,\infty ]}$ 위의 과정 $(X_{t})_{t\in [0,\infty )}$에 대하여, 만약 어떤 정지 시간의 열

$(\tau _{i}\colon \Omega \to [0,\infty ))_{i\in \mathbb {N} }$

이 다음 두 조건을 만족시킨다면, 이를 국소 마팅게일이라고 한다.

• 거의 확실하게 $\textstyle \lim _{i\to \infty }t_{i}=\infty$이다.
• 모든 $i$에 대하여, 정지화 $X^{|\tau _{i}}$는 마팅게일이다.

순응 확률 과정 $(X_{t})_{t\in [0,\infty )}$이 다음과 같은 꼴을 갖는다면, 준마팅게일이라고 한다.

• 어떤 국소 마팅게일 $(M_{t})_{t\in [0,\infty )}$과 거의 확실하게 국소 유계 변동 함수이자 카들라그 함수인 확률 과정 $(A_{t})_{t\in [0,\infty )}$의 합 $X=M+A$으로 표현될 수 있다. (즉, 임의의 $0\leq T<\infty$에 대하여, $(A_{t})_{t\in [0,T]}$는 거의 확실하게 유계 변동 함수이다.)

다양체 값의 준마팅게일

임의의 매끄러운 다양체 $M$이 주어졌다고 하자. $M$ 값의 확률 과정

$(X_{t}\colon \Omega \to M)_{t\in [0,\infty )}$

이 주어졌다고 하자. 만약 임의의 매끄러운 함수 $f\colon M\to \mathbb {R}$에 대하여 $f(X_{t})$가 준마팅게일이라면, $X_{t}$를 준마팅게일이라고 한다.

성질

임의의 전단사 증가 함수

$f\colon [0,\infty )\to [0,\infty )$

가 주어졌다고 하자. 만약 $X_{t}$가 준마팅게일이라면, $X_{f(t)}$ 역시 준마팅게일이다.

준마팅게일의 임의의 정지 시간에 대한 정지화 역시 준마팅게일이다.

준마팅게일의 합과 곱 역시 준마팅게일이다. 보다 일반적으로, 준마팅게일의 ${\mathcal {C}}^{2}$ 함수에 대한 값은 준마팅게일이다.

예

위너 확률 과정 $W_{t}$에 대하여, 정지 시간

$\tau =\inf\{t\colon W_{t}\geq 1\}$

을 생각하자. 그렇다면,

$X_{t}={\begin{cases}W_{t/(1-t)}^{|\tau }&0\leq t<1\\1&1\leq t\end{cases}}$

를 생각하자. 이는 거의 확실하게 연속 함수이지만, $t=1$에서 마팅게일이 아니다. 그러나 이는 국소 마팅게일이며, 따라서 준마팅게일이다.

외부 링크

• “Semi-martingale”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.