【AWS】プライベートDNSを使って、実在するAPIへのリクエストをAPI Gatewayに向けたい

解決したいこと

【AWS】プライベートDNSを使って、実在するAPIへのリクエストをAPI Gatewayに向けたい

名前解決はできるが、API Gatewayへリクエストが届かずに403のエラーが返ってきてしまう。
原因のあたりについて、何かご教授いただきたいです。

発生している問題・エラー

"{\"message\":\"Forbidden\"}"

該当するソースコード

exports.handler = async (event) => {
    // 実在するAPIのURL
    const api_url = 'https://restcountries.com/v3.1/name/aruba?fullText=true'
    const hostname = new URL(api_url).hostname;
    const path = new URL(api_url).pathname + new URL(api_url).search;
    
    const options = {
        hostname: hostname, 
        port: 443,
        path: path,
        method: 'GET',
        rejectUnauthorized: false  // SSL証明書の検証を無効化
      };
    const res = await req(options)
        .catch(err => err)
    console.log(res);
    return {
        api_url,
        res
    }
}

自分で試したこと

以下の環境をAWSにて構築しました。

①VPC作成
　DNS 解決
　→有効
　IPv4 CIDR
　→10.0.0.0/24
　DNS ホスト名
　→有効
②実在する外部APIへのリクエストを送信するlambdaをVPCに配置
③API Gatewayへ向けるためのエンドポイントを作成
　セキュリティインバウンドルール
　→全許可
③外部APIのドメインでRoute53のホストゾーン作成　
④Aレコードを作成：③で作成したエンドポイント（エイリアス）を値に指定
⑤API Gateway作成
　エンドポイントに③で作成したものを指定
リソースポリシー全許可
POSTメソッドを作成して別のlambda関数に統合

###　わかっていること
　・Route53のログから、VPCのサブネットのIPが解決されていることは確認できた。
・ApiGatewayのログは、吐き出されていないため、おそらくApiGatewayにたどり着く前に何か起きている
　・直接ApiGatewayのInvoke URLへリクエストしたところ、エラーにはならなかった